短牌德州的数学

我最近总是听到一种叫做短牌德州（short deck）的新游戏。短牌德州的玩法和标准德州扑克相似，只是用更少的牌游戏——发牌堆去掉了所有的2到5之间的牌。最小的顺子是A-6-7-8-9。有些短牌德州变体改变了成手牌排名，最明显的改变是——同花大于葫芦。

当我第一次听说短牌德州时，听起来新的扑克数学可能会与许多牌手通过游戏标准无限德州扑克构建的直觉相反。因此，我想做的第一件事，就是思考扑克数学发生了怎样的变化。

假设你发到10♥ 9♥。我们来探索标准德州扑克和短牌德州背后的数学，看看在两种游戏中翻牌圈拿到顺子听牌和同花听牌的概率分别是多少。

标准德州扑克的听牌

一旦你拿到自己的两张底牌，牌堆还剩50张牌。三张公共牌将在翻牌圈发出，因此总共有50选3种可能的翻牌面。你可以在谷歌输入50选3（50 choose 3）,它将告诉你答案。在这种情况下，总共有19600种可能的翻牌面。

为了在翻牌圈拿到同花听牌，你需要在翻牌圈发到剩余11张红桃的2张，和一张非红桃的第三张翻牌。因此，这个结果是11选2乘以39（牌堆中剩余的非红桃牌的数量）。因为11选2是55，总共的同花听牌数量是2145。将这个数字除以总共的翻牌面数量，你将得到11%，这就是你翻牌圈拿到同花听牌的概率。

为了在翻牌圈拿到两端顺子听牌，你需要翻牌发出QJ、J8或87，以及一张无关牌。QJ有16种发出方式，算上其他两种组合各自的16种发出方式，这三种组合总共有48种发出方式。

如果我们指定无关牌不能是一张完成顺子的牌，每48种发出方式各有40种可能的无关牌。这使得总共有1920种顺子听牌翻牌面。将这个数字除以总翻牌圈的数量，你将得到一个约10%的结果，这就是你翻牌圈拿到顺子听牌的概率。

短牌德州的听牌

在短牌德州中，你发到两张底牌后还剩下34张牌，因此总共有34选3 = 5984种可能的翻牌面。

牌堆只剩下7张红桃，因此，你有7选2乘以27 = 567种可能的翻牌面可以拿到一副同花听牌。557 / 5984 ≈ 9.5%，这就是你翻牌圈拿到同花听牌的概率。在标准德州扑克中拿到翻牌圈同花听牌的概率是11%，因此短牌德州相比标准德州扑克拿到翻牌圈同花听牌的概率稍小一点。

至于翻牌圈顺子听牌，你在翻牌圈仍有48种拿到QJ、J8或87的方式，但现在只有24张无关的第三张牌。这构成了总共1152种顺子听牌翻牌面，或者说约占所有翻牌面的19%。因此，在短牌德州中翻牌圈拿到顺子听牌的概率要比标准德州扑克高很多。

完成听牌

每个牌手都知道，在标准德州扑克中，同花听牌有9张完成听牌的补牌，顺子听牌有8张完成听牌的补牌。你可以使用二四法则去估算完成听牌的概率。完成听牌概率的计算方式和我们之前在翻牌圈的计算一致，唯一的区别是，你首先计算错过听牌的概率，然后用1减去这个数值。

总共有47选2 = 1081种可能的转牌和河牌。如果你有一副同花听牌（9张补牌），那么38张牌阻止你完成听牌，因此你有38选2 = 703种方式错过听牌，也就是有703 /1081 = 65%的概率错过听牌。因此，你完成同花听牌的概率是35%。

顺子听牌也是一样，只是有39张牌阻止你完成听牌。你总共有741种方式错过听牌，或者说在741 / 1081 = 68.5%的时候错过听牌。因此，你完成听牌的概率是31.5%。

在短牌德州中，转牌和河牌总共有31选2 = 465种可能。同花听牌只5张补牌。因此，26张牌阻止你完成听牌，你有26选2 = 325种方式错过听牌。也就是说，约70%的时候你会错过同花听牌，因此你有约30%的概率完成同花。

不过两端顺子听牌仍然有8张补牌。因此只有23张牌阻止你完成听牌，你有23选2 = 253种方式错过顺子听牌。也就是，你在约254 / 465 = 54.5%的时候错过听牌，在约45.5%的时候完成听牌。

这个概率接近五五开！而且你的连子底牌在接近20%的时候翻牌圈拿到顺子听牌。因此，同花在短牌德州中更难完成，但完成顺子听牌容易很多。

翻牌圈暗三条

翻牌圈击中暗三条的概率在短牌德州也发生了变化。你可以用计算完成听牌概率的方法算出这个概率。在标准德州扑克中，你有48选3 = 17296种方式错过暗三条。也就是，约88%的翻牌面(17296/19600)拿不到暗三条，从而翻牌圈拿到暗三条的概率约为12%。

在短牌德州中，你有32选3 = 4960种方式错过暗三条。将这个数字除以5984种可能的短牌德州翻牌面，得出你有83%的概率错过暗三条，从而翻牌圈拿到暗三条的概率约为17%。

最终思考

我不知道多少人将很快去打短牌德州。这种游戏只在少数地区流行，而且主要是超高注额的现金局。我认为这种游戏开始受欢迎的一个原因，是它使得你根深蒂固的扑克直觉对你产生了负面影响。

如果你打德州扑克足够久，你开始对完成特定牌型的概率烂熟于心。经过无数次牌局的洗礼，你最终可以通过直觉得到许多场合的正确答案。

短牌德州与很多这样的直觉相悖。完成基本牌型的概率存在明显的差异。因此，成手牌的价值也不同。半诈唬牌和抓诈唬牌等等也存在差异。阻断牌在某些场合变得更重要。

这种对游戏的颠覆总是奖赏最优秀的牌手。那些能够快速调整的牌手总是胜过其他牌手，他们能够独自找出真相，而不是单单依赖直觉。做本文的数学计算便是这个过程的开始。